Một số đồng nhất thức liên quan đến tích phân xác định bao gồm

G = ∬ [ 0 , 1 ] 2 1 1 + x 2 y 2 d x d y G = ∫ 0 1 ∫ 0 1 − x 1 1 − x 2 − y 2 d y d x G = ∫ 1 ∞ ln ⁡ t 1 + t 2 d t G = − ∫ 0 1 ln ⁡ t 1 + t 2 d t G = ∫ 0 π 4 t sin ⁡ t cos ⁡ t d t G = 1 4 ∫ − π 2 π 2 t sin ⁡ t d t G = ∫ 0 π 4 ln ⁡ cot ⁡ t d t G = − ∫ 0 π 4 ln ⁡ tan ⁡ t d t G = 1 2 ∫ 0 π 2 ln ⁡ ( sec ⁡ t + tan ⁡ t ) d t G = ∫ 0 1 arccos ⁡ t 1 + t 2 d t G = ∫ 0 1 arsinh ⁡ t 1 − t 2 d t G = ∫ 0 ∞ arctan ⁡ e − t d t G = 1 2 ∫ 0 ∞ t cosh ⁡ t d t G = π 2 ∫ 1 ∞ ( t 4 − 6 t 2 + 1 ) ln ⁡ ln ⁡ t ( 1 + t 2 ) 3 d t G = 1 + lim α → 1 − { ∫ 0 α ( 1 + 6 t 2 + t 4 ) arctan ⁡ t t ( 1 − t 2 ) 2 d t + 2 arctanh ⁡ α − π α 1 − α 2 } G = 1 − 1 8 ∬ R 2 x sin ⁡ ( 2 x y / π ) ( x 2 + π 2 ) cosh ⁡ x sinh ⁡ y d x d y {\displaystyle {\begin{aligned}G&=\iint _{[0,1]^{2}}\!{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,dx\,dy\\[3pt]G&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-x}{\frac {1}{1-x^{2}-y^{2}}}\,dy\,dx\\[3pt]G&=\int _{1}^{\infty }{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt\\[3pt]G&=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}{\frac {t}{\sin t\cos t}}\,dt\\[3pt]G&={\tfrac {1}{4}}\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {t}{\sin t}}\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\ln \cot t\,dt\\[3pt]G&=-\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\ln \tan t\,dt\\[3pt]G&={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln(\sec t+\tan t)\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{1}{\frac {\arccos t}{\sqrt {1+t^{2}}}}\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {arsinh} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{\infty }\arctan e^{-t}\,dt\\[3pt]G&={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t}{\cosh t}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {\pi }{2}}\int _{1}^{\infty }{\frac {(t^{4}-6t^{2}+1)\ln \ln t}{(1+t^{2})^{3}}}\,dt\\[3pt]G&=1+\lim _{\alpha \to {1^{-}}}\!\left\{\int _{0}^{\alpha }\!{\frac {(1+6t^{2}+t^{4})\arctan {t}}{t(1-t^{2})^{2}}}\,dt+2\operatorname {arctanh} {\alpha }-{\frac {\pi \alpha }{1-\alpha ^{2}}}\right\}\\[3pt]G&=1-{\frac {1}{8}}\iint _{\mathbb {R} ^{2}}\!\!{\frac {x\sin(2xy/\pi )}{\,(x^{2}+\pi ^{2})\cosh x\sinh y\,}}\,dxdy\end{aligned}}}

trong đó ba công thức cuối liên quan đến tích phân Malmsten[3].

Nếu K(k) là tích phân elliptic đầy đủ loại I, với k là môđun elliptic, thì

G = 1 2 ∫ 0 1 K ( k ) d k . {\displaystyle G={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (k)\,dk.}

Với hàm gamma Γ(x + 1) = x!

G = π 4 ∫ 0 1 Γ ( 1 + x 2 ) Γ ( 1 − x 2 ) d x = π 2 ∫ 0 1 2 Γ ( 1 + y ) Γ ( 1 − y ) d y . {\displaystyle {\begin{aligned}G&={\frac {\pi }{4}}\int _{0}^{1}\Gamma \left(1+{\frac {x}{2}}\right)\Gamma \left(1-{\frac {x}{2}}\right)\,dx\\&={\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{\frac {1}{2}}\Gamma (1+y)\Gamma (1-y)\,dy.\end{aligned}}}

Tích phân

G = Ti 2 ⁡ ( 1 ) = ∫ 0 1 arctan ⁡ t t d t {\displaystyle G=\operatorname {Ti} _{2}(1)=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan t}{t}}\,dt}

là một hàm số đặc biệt, gọi là tích phân hàm tan nghịch, và được nghiên cứu đặc biệt bởi Srinivasa Ramanujan.